Oscillations harmoniques
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solution cherch´ ee x(t). A et α peuvent ˆ
etre trouv´ es graphiquement
(voir esquisse ci-dessus) ou alg´ ebriquement :
A = |A
| = |A
1 + A
2 |
=
A 1 (cos α 1 + i sin α 1 ) + A 2 (cos α 2 + i sin α 2 )
=
(A 1 cos α 1 + A 2 cos α 2 ) + i(A 1 sin α 1 + A 2 sin α 2 )
=
(A 1 cos α 1 + A 2 cos α 2 )
2 + (A 1 sin α 1 + A 2 sin α 2 )
2
1/2
=
A
2
1 (cos
2 α 1 + sin
2 α 1 ) + A
2
2 (cos
2 α 2 + sin
2 α 2 )
+ 2A 1 A 2 (cos α 1 cos α 2 + sin α 1 sin α 2
cos(α 1 −α 2 )
)
1/2
=
A 2
1 + A 2
2 + 2A 1 A 2 cos(α 1 − α 2 )
Comme
cos α =
Re A
|A |
=
A 1 cos α 1 + A 2 cos α 2
A
on a
x 1 (t) + x 2 (t) = A · cos(ωt + α)
avec
A =
A 2
1 + A 2
2 + 2A 1 A 2 cos(α 1 − α 2 )
cos α =
A 1 cos α 1 + A 2 cos α 2
A