24
Nombres complexes
2.5 Oscillations harmoniques
2.5.1
M´ ethode complexe (id´ ee g´ en´ erale)
Certains probl` emes impliquant des fonctions p´ eriodiques peuvent
ˆ etre r´ esolus selon la m´ ethode suivante :
• Remplacement des fonctions donn´ ees x 1 (t), x 2 (t), . . . par des fonctions (auxiliaires) complexes z 1 (t), z 2 (t), . . . dont les parties r´ eelles
respectivement sont ´
egales aux fonctions donn´ ees : Re z i = x i .
• R´ esolution du probl` eme pos´ e pour les fonctions (auxiliaires) complexes.
• La partie r´ eelle de la solution (du probl` eme «auxiliaire » complexe)
est la solution du probl` eme original.
Cette m´ ethode sera appliqu´ ee ci-dessous (§ 2.5.3) ` a l’addition (superposition) d’oscillations harmoniques. Elle repose essentiellement sur
l’´ equation Re(z 1 + z 2 ) = Re z 1 + Re z 2 . (Elle est aussi utilis´ ee pour la
r´ esolution de certaines ´
equations diff´ erentielles ayant des solutions p´ eriodiques.)
2.5.2
Repr´ esentation complexe des oscillations
harmoniques
Pour une oscillation harmonique (vibration sinuso¨ ıdale) donn´ ee
x(t) = A · cos(ωt + α), on cherche une fonction complexe z(t) dont
la partie r´ eelle est x(t) :
Nombres complexes
2.5 Oscillations harmoniques
2.5.1
M´ ethode complexe (id´ ee g´ en´ erale)
Certains probl` emes impliquant des fonctions p´ eriodiques peuvent
ˆ etre r´ esolus selon la m´ ethode suivante :
• Remplacement des fonctions donn´ ees x 1 (t), x 2 (t), . . . par des fonctions (auxiliaires) complexes z 1 (t), z 2 (t), . . . dont les parties r´ eelles
respectivement sont ´
egales aux fonctions donn´ ees : Re z i = x i .
• R´ esolution du probl` eme pos´ e pour les fonctions (auxiliaires) complexes.
• La partie r´ eelle de la solution (du probl` eme «auxiliaire » complexe)
est la solution du probl` eme original.
Cette m´ ethode sera appliqu´ ee ci-dessous (§ 2.5.3) ` a l’addition (superposition) d’oscillations harmoniques. Elle repose essentiellement sur
l’´ equation Re(z 1 + z 2 ) = Re z 1 + Re z 2 . (Elle est aussi utilis´ ee pour la
r´ esolution de certaines ´
equations diff´ erentielles ayant des solutions p´ eriodiques.)
2.5.2
Repr´ esentation complexe des oscillations
harmoniques
Pour une oscillation harmonique (vibration sinuso¨ ıdale) donn´ ee
x(t) = A · cos(ωt + α), on cherche une fonction complexe z(t) dont
la partie r´ eelle est x(t) :