Fonctions rationnelles
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M´ ethode des coefficients ind´ etermin´ es (exemple)
1
(x + 1)(x − 1)
=
a
x + 1
+
b
x − 1
=
a(x − 1) + b(x + 1)
(x + 1)(x − 1)
=
(a + b)x + b − a
(x + 1)(x − 1)
Le num´ erateur de gauche est identique `
a celui de droite :
1 ≡ (a + b)x + b − a
Deux polynˆ omes sont identiques si leurs coefficients respectifs sont les
mˆ emes :
degr´ e 1 : a + b = 0
degr´ e 0 : − a + b = 1
d’o` u a = −1/2, b = 1/2. Nous trouvons donc
1
(x + 1)(x − 1)
=
−1/2
x − 1
+
1/2
x − 1
Autre m´ ethode : choix appropri´ e des valeurs de x (exemple)
1
(x + 1)(x − 1)
=
a
x + 1
+
b
x − 1
=
a(x − 1) + b(x + 1)
(x + 1)(x − 1)
Le num´ erateur de gauche est identique `
a celui de droite :
1 ≡ a(x − 1) + b(x + 1)
Les deux fonctions prennent la mˆ eme valeur pour chaque x ; on peut
en particulier choisir pour x les racines du d´ enominateur :
x = −1, d’o` u 1 = −2a
x = 1, d’o` u 1 = 2b
ainsi (comme ci-dessus) :
a = −
1
2
b =
1
2