Fonctions rationnelles
21
Comment d´ ecomposer ?
Soit
P (x)/Q(x) une fraction proprement dite. Q(x) = x n + . . .
Premier pas
D´ ecomposition du d´ enominateur en facteurs irr´ eductibles :
P (x)
Q(x)
=
P (x)
(x − a 1 ) k 1 (x − a 2 ) k 2 · · · (x 2 + b 1 x + c 1 ) 1 (x 2 + b 2 x + c 2 ) 2 · · ·
Exemple.
1
x 2 − 1
=
1
(x + 1)(x − 1)
.
Deuxi` eme pas
D´ ecomposition en ´
el´ ements simples `
a coefficients ind´ etermin´ es.
On peut d´ ecomposer la fraction en une somme d’´ el´ ements simples.
Le nombre et le type d’´ el´ ements simples d´ ependent des facteurs du
d´ enominateur. Ils sont `
a choisir selon les listes suivantes :
Facteurs de Q(x) El´ ements simples correspondants
(x − a)
α
x − a
(α ` a d´ eterminer)
(x − a) 2
α 1
(x − a) 2 +
α 2
(x − a)
(α 1 , α 2 ` a d´ eterminer)
. . .
(x − a) k
α 1
(x − a) k +
α 2
(x − a) k−1 + · · ·
+
α k
x − a
(α i ` a d´ eterminer)
21
Comment d´ ecomposer ?
Soit
P (x)/Q(x) une fraction proprement dite. Q(x) = x n + . . .
Premier pas
D´ ecomposition du d´ enominateur en facteurs irr´ eductibles :
P (x)
Q(x)
=
P (x)
(x − a 1 ) k 1 (x − a 2 ) k 2 · · · (x 2 + b 1 x + c 1 ) 1 (x 2 + b 2 x + c 2 ) 2 · · ·
Exemple.
1
x 2 − 1
=
1
(x + 1)(x − 1)
.
Deuxi` eme pas
D´ ecomposition en ´
el´ ements simples `
a coefficients ind´ etermin´ es.
On peut d´ ecomposer la fraction en une somme d’´ el´ ements simples.
Le nombre et le type d’´ el´ ements simples d´ ependent des facteurs du
d´ enominateur. Ils sont `
a choisir selon les listes suivantes :
Facteurs de Q(x) El´ ements simples correspondants
(x − a)
α
x − a
(α ` a d´ eterminer)
(x − a) 2
α 1
(x − a) 2 +
α 2
(x − a)
(α 1 , α 2 ` a d´ eterminer)
. . .
(x − a) k
α 1
(x − a) k +
α 2
(x − a) k−1 + · · ·
+
α k
x − a
(α i ` a d´ eterminer)