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Nombres complexes
facteurs lin´ eaires :
P (z) = (z − z 1 ) · (z − z 2 ) · · · (z − z n )
o` u z k = α k + iβ k
(2) Polynˆ omes `
a coefficients r´ eels ; facteurs complexes admis
Tout polynˆ ome du type P (x) = x n + c 1 x n−1 + c 2 x n−2 + · · · + c n
peut ˆ
etre d´ ecompos´ e en n facteurs lin´ eaires. On trouve deux types
de facteurs :
les facteurs r´ eels : (x − a), a r´ eel;
les facteurs complexes : si
x−(α+iβ)
est un facteur de P (x), alors
x − (α − iβ)
est aussi un facteur de P (x).
(3) Polynˆ omes r´ eels ; facteurs r´ eels
La d´ ecomposition en r facteurs lin´ eaires et s facteurs de degr´ e 2
est possible.
Les facteurs de degr´ e 2 sont du type
x−(α +iβ)
·
x −(α −iβ)
=
x 2 − 2αx + α 2 + β 2 (r + 2s = n; voir ci-dessus).
2.4.2
Partie enti` ere d’une fonction rationnelle
Soit R(x) = P (x)/Q(x) avec : degr´ e P degr´ e Q.
Par une «division avec reste», on peut d´ ecomposer la fonction rationnelle en une somme d’un polynˆ ome (partie enti` ere) et d’une fraction proprement dite (partie fractionnaire) :
P (x)
Q(x)
= S(x) +
P (x)
Q(x)
(degr´ e
P < degr´ e Q)
S(x) est la partie enti` ere (polynˆ ome),
P (x)/Q(x) la partie fractionnaire.
2.4.3
D´ ecomposition d’une fraction proprement dite
Toute fraction proprement dite peut ˆ
etre d´ ecompos´ ee en une somme
de certaines fractions standardis´ ees (´ el´ ements simples) qui sont,
soit du type
α
(x − a) k ,
soit du type
βx + γ
x 2 + bx + c
k .