Fonctions rationnelles
19
2.3.2
Quelques identit´ es
Les fonctions hyperboliques satisfont `
a des identit´ es analogues `
a
celles des fonctions trigonom´ etriques.
Les cinq formules les plus usuelles dans la suite sont pr´ ec´ ed´ ees par
un point gras.
• ch 2 x − sh 2 x = 1
• sh(x ± y) = sh x · ch y ± ch x · sh y
• ch(x ± y) = ch x · ch y ± sh x · sh y
sh
x
2
= ±
ch x − 1
2
th(x ± y) =
th x ± th y
1 ± th x th y
ch
x
2
=
ch x + 1
2
• sh 2x = 2 sh x · ch x
• ch 2x = ch
2 x + sh
2 x = 2 ch
2 x − 1
= 1 + 2 sh
2 x
th 2x =
2 th x
1 + th 2 x
th
x
2
= ±
ch x − 1
ch x + 1
=
sh x
ch x + 1
=
ch x − 1
sh x
(+ pour x > 0; − pour x < 0)
2.3.3
Relations entre fonctions hyperboliques et
trigonom´ etriques
cos z = ch iz
sin z = −i sh iz
ch z = cos iz
sh z = −i sin iz
2.4 Fonctions rationnelles
2.4.1
D´ ecomposition de polynˆ ome en facteurs irr´ eductibles
(1) Polynˆ omes `
a coefficients complexes ; facteurs complexes
« Th´ eor` eme fondamental de l’alg` ebre». Tout polynˆ ome du type
P (z) = z n + c 1 z n−1 + c 2 z n−2 + · · · + c n peut ˆ
etre d´ ecompos´ e en