Formules d’Euler et de de Moivre,. . .
17
Expression de cos ϕ et de sin ϕ par la fonction exponentielle
cos ϕ =
e iϕ + e −iϕ
2
sin ϕ =
e iϕ − e −iϕ
2i
2.2.2
Les trois repr´ esentations des nombres complexes
(1) z = x + iy, surtout utile pour l’addition et la soustraction;
(2) z = ρ(cos ϕ + i sin ϕ), pour passer de la repr´ esentation (3) `
a la
repr´ esentation (1);
(3) z = ρ e iϕ simplifie souvent les multiplications, divisions, puissances
et racines.
2.2.3
Formule de de Moivre
e
iϕ
n = e
inϕ
2.2.4
Fonction exponentielle
Soit z = x + iy ; alors w = e z = e x · e iy = e x cos y + i e x sin y.
On a donc
|w| = e
x
arg w ≡ y (mod 2π)
Re w = e
x cos y
Im w = e
x sin y
2.2.5
Logarithme
D ´ efinition. log w = z ´ equivaut `
a w = e z .
Posons z = x + iy : log w = x + iy ´ equivaut `
a w = e
x e
iy , avec
e x = |w| et y = arg w, d’o` u
log w = ln |w| + i(ψ + 2kπ)
o` u ψ = arg w
Pour retrouver rapidement cette formule :
log w = log σ e
iψ = log σ + log e
i(ψ+2kπ) = log σ + i(ψ + 2kπ)
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Expression de cos ϕ et de sin ϕ par la fonction exponentielle
cos ϕ =
e iϕ + e −iϕ
2
sin ϕ =
e iϕ − e −iϕ
2i
2.2.2
Les trois repr´ esentations des nombres complexes
(1) z = x + iy, surtout utile pour l’addition et la soustraction;
(2) z = ρ(cos ϕ + i sin ϕ), pour passer de la repr´ esentation (3) `
a la
repr´ esentation (1);
(3) z = ρ e iϕ simplifie souvent les multiplications, divisions, puissances
et racines.
2.2.3
Formule de de Moivre
e
iϕ
n = e
inϕ
2.2.4
Fonction exponentielle
Soit z = x + iy ; alors w = e z = e x · e iy = e x cos y + i e x sin y.
On a donc
|w| = e
x
arg w ≡ y (mod 2π)
Re w = e
x cos y
Im w = e
x sin y
2.2.5
Logarithme
D ´ efinition. log w = z ´ equivaut `
a w = e z .
Posons z = x + iy : log w = x + iy ´ equivaut `
a w = e
x e
iy , avec
e x = |w| et y = arg w, d’o` u
log w = ln |w| + i(ψ + 2kπ)
o` u ψ = arg w
Pour retrouver rapidement cette formule :
log w = log σ e
iψ = log σ + log e
i(ψ+2kπ) = log σ + i(ψ + 2kπ)