16
Nombres complexes
On a ρ(cos ϕ + i sin ϕ) = σ n (cos nψ + i sin nψ) d’o` u
ρ = σ
n et ϕ ≡ nψ(mod 2π)
o` u ϕ + 2kπ = ψ, donc
σ = n
√ ρ et ψ =
ϕ
n
+
2kπ
n
(k entier)
Pour z = 0, il y a n racines n i` emes diff´ erentes situ´ ees sur un cercle
de rayon
n
|z| et formant un polygone r´ egulier.
2.2 Formules d’Euler et de de Moivre,
fonctions exponentielle et logarithme
2.2.1
Formules d’Euler
e
iϕ = cos ϕ + i sin ϕ
e
−iϕ = cos ϕ − i sin ϕ
Interpr´ etation g´ eom´ etrique des formules d’Euler
e iϕ est un nombre complexe de module 1 et d’argument ϕ.
i
1
ϕ
e
iϕ
Nombres complexes
On a ρ(cos ϕ + i sin ϕ) = σ n (cos nψ + i sin nψ) d’o` u
ρ = σ
n et ϕ ≡ nψ(mod 2π)
o` u ϕ + 2kπ = ψ, donc
σ = n
√ ρ et ψ =
ϕ
n
+
2kπ
n
(k entier)
Pour z = 0, il y a n racines n i` emes diff´ erentes situ´ ees sur un cercle
de rayon
n
|z| et formant un polygone r´ egulier.
2.2 Formules d’Euler et de de Moivre,
fonctions exponentielle et logarithme
2.2.1
Formules d’Euler
e
iϕ = cos ϕ + i sin ϕ
e
−iϕ = cos ϕ − i sin ϕ
Interpr´ etation g´ eom´ etrique des formules d’Euler
e iϕ est un nombre complexe de module 1 et d’argument ϕ.
i
1
ϕ
e
iϕ