Op´ erations ´
el´ ementaires sur les nombres complexes
15
i
1
z
−z
z
z +z
z −z
2.1.9
Puissances n i` emes des nombres complexes
Si z = ρ(cos ϕ + i sin ϕ), alors
z
2 = z · z = ρ
2 (cos 2ϕ + i sin 2ϕ)
Calculer le carr´ e d’un nombre complexe revient `
a trouver le carr´ e du
module et le double de l’argument.
z
n = z · z · · · z = ρ
n (cos nϕ + i sin nϕ)
Calculer la puissance n i` eme d’un nombre complexe revient `
a trouver la
puissance n i` eme du module et n fois l’argument.
Nombres de module 1, formule de de Moivre
Si |z| = ρ = 1, alors
cos ϕ + i sin ϕ
n = cos nϕ + i sin nϕ
(formule de de Moivre)
2.1.10
Racines n i` emes des nombres complexes
D ´ efinition. w est appel´ e racine n i` eme de z si z = w n .
Calcul des racines n i` emes
Soit z = ρ(cos ϕ + i sin ϕ); on cherche : w = σ(cos ψ + i sin ψ) tel
que z = w n .