14
Nombres complexes
Forme trigonom´ etrique
1
z
=
1
ρ(cos ϕ + i sin ϕ)
=
(cos ϕ − i sin ϕ)
ρ (cos ϕ + i sin ϕ)(cos ϕ − i sin ϕ)
=cos 2 ϕ+sin 2 ϕ=1
=
1
ρ
(cos ϕ − i sin ϕ)
2.1.7
Nombres complexes conjugu´ es
Nombres conjugu´ es : z = a + ib, z = a − ib.
Forme trigonom´ etrique. z = ρ(cos ϕ+i sin ϕ), z = ρ(cos ϕ−i sin ϕ).
i
1
ϕ
2π − ϕ
−ϕ
z = a + ib
z = a − ib
Remarque. cos(−ϕ) = cos ϕ, sin(−ϕ) = − sin ϕ d’o` u cos(−ϕ) +
i sin(−ϕ) = cos ϕ − i sin ϕ.
2.1.8
R` egles de calcul pour les nombres conjugu´ es
z · z = (a + ib)(a − ib) = a
2 + b
2 = ρ
2 = |z|
2
Re z =
z + z
2
Im z =
z − z
2i
z + w = z + w
z · w = z · w
(z n ) = (z )
n
z
w
=
z
w