Op´ erations ´
el´ ementaires sur les nombres complexes
13
Forme trigonom´ etrique
z · w = ρ(cos ϕ + i sin ϕ) · σ(cos ψ + i sin ψ)
= ρσ
cos ϕ · cos ψ − sin ϕ · sin ψ + i(cos ϕ · sin ψ + sin ϕ · cos ψ)
= ρσ
cos(ϕ + ψ) + i sin(ϕ + ψ)
Multiplier deux nombres complexes revient donc `
a multiplier leurs
modules et additionner leurs arguments.
2.1.6
Division des nombres complexes
Si z = a + ib = ρ(cos ϕ + i sin ϕ) et w = c + id = σ(cos ψ + i sin ψ),
alors
z
w
=
a + ib
c + id
=
(a + ib)(c − id)
(c + id)(c − id)
=
ac + bd + i(bc − ad)
c 2 + d 2
=
ac + bd
c 2 + d 2 + i
bc − ad
c 2 + d 2
Forme trigonom´ etrique
z
w
=
ρ(cos ϕ + i sin ϕ)
σ(cos ψ + i sin ψ)
=
ρ(cos ϕ + i sin ϕ)(cos ψ − i sin ψ)
σ (cos ψ + i sin ψ)(cos ψ − i sin ψ)
=cos 2 ψ+sin 2 ψ=1
=
ρ
σ
cos ϕ · cos ψ + sin ϕ · sin ψ + i(sin ϕ · cos ψ − cos ϕ · sin ψ)
=
ρ
σ
cos(ϕ − ψ) + i sin(ϕ − ψ)
Diviser deux nombres complexes revient donc `
a diviser leurs modules et soustraire leurs arguments.
Cas particulier
Inverse d’un nombre complexe :
1
z
=
1
a + ib
=
(a − ib)
(a + ib)(a − ib)
=
a − ib
a 2 + b 2 =
a
a 2 + b 2 − i
b
a 2 + b 2