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Limites et continuit´ e
1.5.3
Notion de s´ erie num´ erique
Sommes partielles
Etant donn´ ee la s´ erie a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + · · ·, on appelle
s n = a 1 + a 2 + a 3 + · · · + a n
la n-i` eme somme partielle de la s´ erie.
Convergence d’une s´ erie num´ erique
D ´ efinition. La s´ erie a 1 + a 2 + a 3 + · · · est dite convergente,
si la suite des sommes partielles converge :
lim
n→∞
s n = S (s n = a 1 + a 2 + · · · + a n ) .
S est alors appel´ ee la somme de la s´ erie.
Notation. Si a 1 + a 2 + a 3 + · · · converge vers S, on ´ ecrit
∞
i=1
a i = S.
S´ erie g´ eom´ etrique a + ap + ap 2 + ap 3 + · · ·
La somme des n premiers termes est
a + ap + ap
2 + · · · + ap
n−1 = a
1 − p n
1 − p
.
Proposition. La s´ erie g´ eom´ etrique a + ap + ap 2 + · · · (a = 0)
converge pour |p| < 1 :
a + ap + ap
2 + · · · =
a
1 − p
(|p| < 1)
(pour |p| 1 elle diverge).