8
Limites et continuit´ e
Proposition
• Si f(x), g(x) sont continues en x 0 , alors
(1) f(x) + g(x), f(x) − g(x), f(x) · g(x) sont continues en x 0 ;
(2) f(x)/g(x) est continue en x 0 (si g(x 0 ) = 0).
• Si f(x) est continue en x 0 et si g(x) est continue en f(x 0 ),
alors
(3) g
f(x)
est continue en x 0 .
1.4.1
Fonctions continues dans un ensemble ferm´ e
Soit f(x) continue sur [ a , b ]. Sur cet intervalle la fonction
• est born´ ee,
• poss` ede un maximum et un minimum,
• prend (une fois au moins) toute valeur entre f(a) et f(b) (th´ eor` eme
de la valeur interm´ ediaire),
• est uniform´ ement continue. (Uniform´ ement continue signifie : pour
tout ε > 0, il existe δ > 0 (qui ne d´ epend pas de x ∈ [ a , b ] mais
seulement de ε!) tel que |x − x | < δ, x , x ∈ [ a , b ], entraˆ ıne
f(x ) − f(x )
< ε.)
1.5 Calcul de limites ; s´ eries
1.5.1
Limites de suites num´ eriques
R` egles de calcul
Proposition. Soient lim
n→∞
a n = a et lim
n→∞
b n = b. Alors
(1) lim
n→∞
(a n ± b n ) = a ± b,
(2) lim
n→∞
(a n · b n ) = a · b,
(3) lim
n→∞
a n
b n
=
a
b
(si b = 0, b n = 0).