Fonctions continues
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D ´ efinition. On dit que f(x) tend vers a (quand x tend vers
+∞) si, pour tout voisinage V (a) du point a, il existe une valeur
N ` a partir de laquelle (2) f(x) se trouve dans V (a).
1.3.2
Limite quand x tend vers x 0
D ´ efinition. On dit que f(x) tend vers a (quand x tend vers
x 0 ) si, pour tout ε > 0, il existe δ > 0 tel que (pour x = x 0 )
|x − x 0 | < δ entraˆ ıne
f(x) − a
< ε.
On peut ramener la convergence d’une fonction `
a la convergence de
suites :
D ´ efinition (´ equivalente). On dit que f(x) tend vers a (quand
x tend vers x 0 ) si, pour toute suite x n (x n = x 0 ) qui converge
vers x, la suite f(x n ) converge vers a.
1.4 Fonctions continues
D ´ efinition. f(x) est dite continue au point x 0 si lim
x→x 0
f(x) =
f(x 0 ).
D ´ efinition (´ equivalente). f(x) est dite continue au point x 0
si, pour tout ε > 0, il existe δ > 0 tel que |x − x 0 | < δ entraˆ ıne
f(x) − f(x 0 )
< ε.
D ´ efinition (´ equivalente). f(x) est dite continue au point x 0
si l’image r´ eciproque f −1 (V ) de tout voisinage V de f(x 0 ) est
un voisinage de x 0 .
(2) C’est-` a-dire pour x > N.