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Limites et continuit´ e
Proposition. La suite a n converge si et seulement si pour
tout ε > 0 (aussi petit soit-il), il existe un indice N tel que n,
m > N entraˆ ıne |a n − a m | < ε (crit` ere de Cauchy).
1.2.3
G´ en´ eralisation : lim sup, lim inf
D ´ efinition. On appelle le point a un point d’accumulation de
la suite a n , s’il existe une sous-suite qui converge vers a.
D ´ efinition
(1) Si la suite a n est born´ ee, nous appelons :
limite sup´ erieure de a n le plus grand des points d’accumulation (notation lim sup a n );
limite inf´ erieure de a n le plus petit des points d’accumulation (notation lim inf a n ).
(2) Si a n n’est pas major´ ee, on dit que lim sup a n = ∞.
Si a n n’est pas minor´ ee, on dit que lim inf a n = −∞.
1.3 Limite d’une fonction
1.3.1
Limite quand x tend vers l’infini
D ´ efinition. On dit que f(x) tend vers a (quand x tend vers
+∞) si, pour tout ε > 0 (aussi petit soit-il), il existe un nombre
r´ eel N (suffisamment grand) tel que x > N entraˆ ıne
f(x) − a
< ε.
Notation. lim
x→∞
f(x) = a ou lim
x→+∞
f(x) = a.
D´ efinition analogue pour lim x→−∞ f(x).
En utilisant la notion de voisinage, on obtient la d´ efinition ´ equivalente :