Limite d’une suite num´ erique
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1.2 Limite d’une suite num´ erique
1.2.1
Notion de limite
Soit a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n , . . . une suite num´ erique. Intuitivement parlant, un nombre a s’appelle alors la limite de la suite a n , si pour des
indices n croissants, les nombres a n s’approchent de a autant que l’on
veut. De fa¸ con pr´ ecise :
D ´ efinition. On dit que la suite num´ erique a n tend vers a (ou
converge vers a) si, pour tout nombre ε > 0 (aussi petit soit-il),
il existe un indice N tel que n > N entraˆ ıne |a n − a| < ε.
On peut donner beaucoup de d´ efinitions ´ equivalentes de la notion
de limite d’une suite num´ erique. Nous en citerons une deuxi` eme.
D ´ efinition (´ equivalente). On dit que la suite a n converge vers
a si, pour tout voisinage V (a) du nombre a, il existe un indice
N ` a partir duquel (1) tous les a n se trouvent dans ce voisinage
V (a).
Si la suite a n tend vers a, on dit qu’elle est convergente et que sa
limite est a.
Si la suite ne tend vers aucune limite, elle est dite divergente.
1.2.2
Crit` ere de Cauchy
Si l’on veut d´ emontrer la convergence d’une suite a n en appliquant
la d´ efinition de limite, il faut d’abord connaˆ ıtre (ou deviner) cette
limite pr´ esum´ ee a. Le crit` ere de Cauchy permet de d´ emontrer la convergence d’une suite, sans savoir quelle en est la limite. Intuitivement
parlant, le crit` ere de Cauchy dit qu’une suite a n converge si pour des
indices n et m suffisamment grands, les deux termes a n et a m sont
aussi proches que l’on veut. De fa¸ con pr´ ecise :
(1) C’est-` a-dire pour des indices n > N.
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1.2 Limite d’une suite num´ erique
1.2.1
Notion de limite
Soit a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n , . . . une suite num´ erique. Intuitivement parlant, un nombre a s’appelle alors la limite de la suite a n , si pour des
indices n croissants, les nombres a n s’approchent de a autant que l’on
veut. De fa¸ con pr´ ecise :
D ´ efinition. On dit que la suite num´ erique a n tend vers a (ou
converge vers a) si, pour tout nombre ε > 0 (aussi petit soit-il),
il existe un indice N tel que n > N entraˆ ıne |a n − a| < ε.
On peut donner beaucoup de d´ efinitions ´ equivalentes de la notion
de limite d’une suite num´ erique. Nous en citerons une deuxi` eme.
D ´ efinition (´ equivalente). On dit que la suite a n converge vers
a si, pour tout voisinage V (a) du nombre a, il existe un indice
N ` a partir duquel (1) tous les a n se trouvent dans ce voisinage
V (a).
Si la suite a n tend vers a, on dit qu’elle est convergente et que sa
limite est a.
Si la suite ne tend vers aucune limite, elle est dite divergente.
1.2.2
Crit` ere de Cauchy
Si l’on veut d´ emontrer la convergence d’une suite a n en appliquant
la d´ efinition de limite, il faut d’abord connaˆ ıtre (ou deviner) cette
limite pr´ esum´ ee a. Le crit` ere de Cauchy permet de d´ emontrer la convergence d’une suite, sans savoir quelle en est la limite. Intuitivement
parlant, le crit` ere de Cauchy dit qu’une suite a n converge si pour des
indices n et m suffisamment grands, les deux termes a n et a m sont
aussi proches que l’on veut. De fa¸ con pr´ ecise :
(1) C’est-` a-dire pour des indices n > N.