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Limites et continuit´ e
Ensemble des majorants
L’ensemble des majorants d’une partie (major´ ee) de R est un intervalle illimit´ e : si c majore A, alors tout c tel que c < c majore
aussi A.
A
c c
Question. L’ensemble des majorants a-t-il un plus petit ´
el´ ement ?
L’ensemble des minorants d’une partie (minor´ ee) de R est un invervalle illimit´ e : si c minore A, alors c < c minore aussi A.
A
c c
Question. L’ensemble des minorants a-t-il un plus grand ´
el´ ement ?
Supremum, infimum
Si l’ensemble des majorants de A poss` ede un plus petit ´
el´ ement, on
l’appelle supremum de A ou borne sup´ erieure de A (la borne sup´ erieure
est not´ ee sup A).
Si l’ensemble des minorants de A poss` ede un plus grand ´
el´ ement,
on l’appelle infimum de A ou borne inf´ erieure de A (la borne inf´ erieure
est not´ ee inf A).
La droite r´ eelle est «compl` ete»
Axiome. Pour toute partie born´ ee A de la droite r´ eelle, la
borne sup´ erieure (sup A) et la borne inf´ erieure (inf A) existent.
(On dit que la droite r´ eelle est compl` ete.)