Remarques `
a propos des nombres r´ eels
3
Sous-additivit´ e des valeurs absolues : |x + y| |x| + |y|. Quelquefois
cette in´ egalit´ e est aussi appel´ ee « in´ egalit´ e du triangle».
Voisinage d’un nombre r´ eel
On appelle ε-voisinage (ouvert) de x.
V ε (x) =
y | d(x, y) < ε
= ] x − ε , x + ε [ (ε > 0)
V ε (x)
x−ε
x+ε
x
On appelle voisinage de x tout ensemble contenant (au moins) un
ε-voisinage de x. On ´ ecrit souvent V (x).
V (x)
x−ε
x+ε
x
Ensembles ouverts, ensembles ferm´ es
On appelle ensemble ouvert une partie de R qui est voisinage de
tous ses points.
On appelle ensemble ferm´ e une partie de R dont le compl´ ement est
ouvert.
1.1.3
Nombres rationnels et nombres r´ eels
Les nombres r´ eels se distinguent des nombres rationnels essentiellement par une propri´ et´ e. Cette propri´ et´ e peut ˆ
etre exprim´ ee de diff´ erentes mani` eres. L’une d’elles est donn´ ee ci-dessous (existence du sup),
une autre (crit` ere de Cauchy) se trouve dans le paragraphe ayant trait
` a la convergence des suites (§ 1.2.2). On dit que la droite r´ eelle est
compl` ete. Cette propri´ et´ e d’ˆ etre compl` ete est parfois formul´ ee intuitivement, en disant : «il n’y a pas de trou dans la droite num´ erique».
a propos des nombres r´ eels
3
Sous-additivit´ e des valeurs absolues : |x + y| |x| + |y|. Quelquefois
cette in´ egalit´ e est aussi appel´ ee « in´ egalit´ e du triangle».
Voisinage d’un nombre r´ eel
On appelle ε-voisinage (ouvert) de x.
V ε (x) =
y | d(x, y) < ε
= ] x − ε , x + ε [ (ε > 0)
V ε (x)
x−ε
x+ε
x
On appelle voisinage de x tout ensemble contenant (au moins) un
ε-voisinage de x. On ´ ecrit souvent V (x).
V (x)
x−ε
x+ε
x
Ensembles ouverts, ensembles ferm´ es
On appelle ensemble ouvert une partie de R qui est voisinage de
tous ses points.
On appelle ensemble ferm´ e une partie de R dont le compl´ ement est
ouvert.
1.1.3
Nombres rationnels et nombres r´ eels
Les nombres r´ eels se distinguent des nombres rationnels essentiellement par une propri´ et´ e. Cette propri´ et´ e peut ˆ
etre exprim´ ee de diff´ erentes mani` eres. L’une d’elles est donn´ ee ci-dessous (existence du sup),
une autre (crit` ere de Cauchy) se trouve dans le paragraphe ayant trait
` a la convergence des suites (§ 1.2.2). On dit que la droite r´ eelle est
compl` ete. Cette propri´ et´ e d’ˆ etre compl` ete est parfois formul´ ee intuitivement, en disant : «il n’y a pas de trou dans la droite num´ erique».