2
Limites et continuit´ e
Intervalles illimit´ es ouverts :
] a , ∞ [ =
x | a < x
a
] − ∞ , b [ =
x | x < b
b
Ensembles major´ es et minor´ es
c est appel´ e majorant de A ⊂ R si A c.
A
c
c est appel´ e minorant de A ⊂ R si c A.
A
c
A est dit major´ e s’il existe (au moins) un majorant.
A est dit minor´ e s’il existe (au moins) un minorant.
A est dit born´ e s’il est major´ e et minor´ e.
Plus grand et plus petit ´
el´ ements
c est appel´ e le plus grand ´
el´ ement de A ⊂ R si c ∈ A, A c.
c est appel´ e le plus petit ´ el´ ement de A ⊂ R si c ∈ A, c A.
Exemple. L’intervalle ] a , b ] n’a pas de plus petit ´
el´ ement, mais il en
a un plus grand.
a
b
1.1.2
Distance, voisinage
«Distance» de deux nombres r´ eels
D ´ efinition. d(x, y) = |x − y|.
In´ egalit´ e du triangle : d(x, z) d(x, y) + d(y, z) (pour tous x, y, z
r´ eels).
Invariance de la distance par translation : d(x, y) = d(x + c, y + c)
(quels que soient x, y, c r´ eels).