Chapitre 13
M´ ethodes particuli` eres,
exemples d’´ equations diff´ erentielles
non lin´ eaires
13.1 Abaissement de l’ordre
L’´ equation ne contient pas la fonction inconnue
Poser z(x) = y (x).
L’´ equation ne contient pas la variable ind´ ependante
La fonction cherch´ ee est y(x). Consid´ erer y comme nouvelle variable et y (y) = p(y) comme nouvelle fonction inconnue.
Calculer
y
=
dp
dy
·
dy
dx
= p ·
dp
dy
, ensuite y
= · · · , etc.
En repla¸ cant y, . . . dans l’´ equation donn´ ee, on obtient une nouvelle
´ equation diff´ erentielle dont l’ordre est r´ eduit de 1.
L’´ equation ne contient ni la fonction cherch´ ee, ni la variable
L’ordre peut ˆ
etre abaiss´ e de 2 s’il est 3, en combinant les deux
m´ ethodes ci-dessus.
L’´ equation est lin´ eaire et une solution est connue
Plus pr´ ecis´ ement : ´ equation lin´ eaire homog` ene (pouvant avoir des
coefficients variables) dont une solution est connue.