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M´ ethodes particuli` eres, exemples d’´ equations non lin´ eaires
Soit y 1 (x) la solution connue.
Premier pas. Poser y = y 1 · z. On obtient une ´
equation du mˆ eme
ordre pour la nouvelle fonction inconnue z(x), ne contenant pas explicitement z.
Deuxi` eme pas. Poser z = u. Ainsi l’ordre sera abaiss´ e de 1.
13.2 Exemples d’´ equations non lin´ eaires
13.2.1
Equation de Bernoulli
D ´ efinition. Une ´ equation de la forme
a(x)y
+ b(x)y = f(x) · y
m
o` u m = 0, 1, est dite ´ equation de Bernoulli.
M´ ethode de solution
(1) Diviser par y m : a(x)
y
y m + b(x)y
1−m = f(x).
(2) Poser z = y 1−m d’o` u z = (1 − m)y −m · y .
Ceci conduit `
a l’´ equation auxiliaire (lin´ eaire) `
a r´ esoudre :
a(x)
1 − m
· z
+ b(x) · z = f(x)
13.2.2
Equation de Riccati
D ´ efinition. Une ´ equation de la forme
y
= a(x)y
2 + b(x)y + c(x)
est dite ´ equation de Riccati.
Cette ´
equation peut ˆ
etre r´ esolue si une solution (particuli` ere) est
connue.