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Equations diff´ erentielles lin´ eaires `
a coefficients variables
12.3 L’´ equation y + a(x)y = f(x)
12.3.1
L’´ equation homog` ene y + a(x)y = 0
M´ ethode de solution
Par s´ eparation des variables on a
dy
y
= −a(x) dx
d’o` u la solution g´ en´ erale :
y = cste · e
−A(x)
o` u A (x) = a(x).
12.3.2
L’´ equation non homog` ene y + a(x)y = f(x)
Recherche d’une solution particuli` ere
Par variation des constantes on trouve
y part = c(x) · e
−A(x)
En rempla¸ cant y par c(x) · e −A(x) dans l’´ equation donn´ ee, on obtient :
c
(x) = e
A(x)
· f(x)
d’o` u c(x) par int´ egration.
12.4 Equations `
a coefficients analytiques
M´ ethode de solution
Soit l’´ equation du type : y + a(x)y + b(x)y = 0.
Supposons que a(x) et b(x) peuvent ˆ
etre d´ evelopp´ es en s´ eries de
Taylor, par exemple dans un voisinage de x 0 = 0.