Equation d’Euler
175
12.2 Equation d’Euler
D ´ efinition. Une ´ equation de la forme
x n y
(n) + a 1 x
n−1 y
(n−1) + · · · + a n y = 0
est dite ´ equation d’Euler.
Recherche de n solutions lin´ eairement ind´ ependantes
Poser y = x r . En rempla¸ cant y dans l’´ equation donn´ ee, on trouve
l’´ equation caract´ eristique :
r(r − 1) · · · (r − n + 1) +a 1 · r(r − 1) · · · (r − n + 2) +· · ·+ a n−1 r + a n = 0
Les n solutions de l’´ equation caract´ eristique sont d´ esign´ ees par :
r 1 , r 2 , . . . , r n .
Types de racines
Solutions de base correspondantes
racine simple (r´ eelle) r
y = x r
racine double r 1 = r 2 = r
y 1 = x r
y 2 = ln x · x r
racine triple r 1 = r 2 = r 3 = r y 1 = x r
y 2 = ln x · x r
y 3 = (ln x) 2 · x r
racines complexes conjugu´ ees
r 1 = α + βi
r 2 = α − βi
ϕ 1 = x α+iβ = x α · e iβ ln x
ϕ 2 = x α−iβ = x α · e −iβ ln x
d’o` u
y 1 = x α cos(β ln x)
y 2 = x α sin(β ln x)
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12.2 Equation d’Euler
D ´ efinition. Une ´ equation de la forme
x n y
(n) + a 1 x
n−1 y
(n−1) + · · · + a n y = 0
est dite ´ equation d’Euler.
Recherche de n solutions lin´ eairement ind´ ependantes
Poser y = x r . En rempla¸ cant y dans l’´ equation donn´ ee, on trouve
l’´ equation caract´ eristique :
r(r − 1) · · · (r − n + 1) +a 1 · r(r − 1) · · · (r − n + 2) +· · ·+ a n−1 r + a n = 0
Les n solutions de l’´ equation caract´ eristique sont d´ esign´ ees par :
r 1 , r 2 , . . . , r n .
Types de racines
Solutions de base correspondantes
racine simple (r´ eelle) r
y = x r
racine double r 1 = r 2 = r
y 1 = x r
y 2 = ln x · x r
racine triple r 1 = r 2 = r 3 = r y 1 = x r
y 2 = ln x · x r
y 3 = (ln x) 2 · x r
racines complexes conjugu´ ees
r 1 = α + βi
r 2 = α − βi
ϕ 1 = x α+iβ = x α · e iβ ln x
ϕ 2 = x α−iβ = x α · e −iβ ln x
d’o` u
y 1 = x α cos(β ln x)
y 2 = x α sin(β ln x)