174
Equations diff´ erentielles lin´ eaires `
a coefficients variables
Wronskien
Proposition. Soient y 1 , . . . , y n n solutions de l’´ equation
y
(n) + a 1 (x) · y
(n−1) + · · · + a n (x)y = 0
Soit W (x) leur wronskien. Alors :
(1) y 1 , y 2 , . . . , y n sont lin´ eairement ind´ ependantes si et seulement si
W (x) = 0
pour tout x ∈ I
(2) Pour tout x 0 ∈ I :
W (x) = exp
−
x
x 0
a 1 (t) dt
· W (x 0 )
12.1.2
Equation non homog` ene
La solution g´ en´ erale de l’´ equation
y
(n) + a 1 (x) · y
(n−1) + · · · + a n (x) · y = f(x)
s’´ ecrit
y = y part + y hom
= y part + c 1 y 1 + · · · + c n y n
o` u
y part est une solution quelconque de l’´ equation donn´ ee;
y hom est la solution g´ en´ erale de l’´ equation correspondante sans
second membre;
y 1 , y 2 , . . . , y n sont n solutions lin´ eairement ind´ ependantes de
l’´ equation homog` ene correspondante.
Recherche d’une solution particuli` ere
Il est souvent difficile de «deviner» une solution. Par contre, la
m´ ethode de la variation des constantes est toujours applicable.