Chapitre 12
Equations diff´ erentielles lin´ eaires
` a coefficients variables
12.1 Ensemble des solutions d’une ´ equation lin´ eaire
12.1.1
Equation homog` ene
Th ´ eor ` eme. Soit y (n) + a 1 (x) · y (n−1) + · · · + a n (x)y = 0 une
´ equation diff´ erentielle lin´ eaire, homog` ene `
a coefficients variables.
Soient a i (x) continues sur I. Soit x 0 ⊂ I. Alors :
(1) L’ensemble des solutions est un espace vectoriel de dimension n; c’est-` a-dire : il existe n solutions y 1 , y 2 , . . . , y n ,
lin´ eairement ind´ ependantes, telles que la solution g´ en´ erale
s’´ ecrit :
y = c 1 y 1 + c 2 y 2 + · · · + c n y n
(2) Le probl` eme aux valeurs initiales a exactement une solution,
c’est-` a-dire : il existe sur I une et une seule solution satisfaisant aux conditions initiales
y(x 0 ) = α 1 , y
(x 0 ) = α 2 , . . . , y
(n−1) (x 0 ) = α n
o` u α 1 , . . . , α n sont donn´ es.
Equations diff´ erentielles lin´ eaires
` a coefficients variables
12.1 Ensemble des solutions d’une ´ equation lin´ eaire
12.1.1
Equation homog` ene
Th ´ eor ` eme. Soit y (n) + a 1 (x) · y (n−1) + · · · + a n (x)y = 0 une
´ equation diff´ erentielle lin´ eaire, homog` ene `
a coefficients variables.
Soient a i (x) continues sur I. Soit x 0 ⊂ I. Alors :
(1) L’ensemble des solutions est un espace vectoriel de dimension n; c’est-` a-dire : il existe n solutions y 1 , y 2 , . . . , y n ,
lin´ eairement ind´ ependantes, telles que la solution g´ en´ erale
s’´ ecrit :
y = c 1 y 1 + c 2 y 2 + · · · + c n y n
(2) Le probl` eme aux valeurs initiales a exactement une solution,
c’est-` a-dire : il existe sur I une et une seule solution satisfaisant aux conditions initiales
y(x 0 ) = α 1 , y
(x 0 ) = α 2 , . . . , y
(n−1) (x 0 ) = α n
o` u α 1 , . . . , α n sont donn´ es.