L’´ equation y (n) + a 1 y (n−1) + · · · + a n y = f(x)
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Deuxi` eme m´ ethode
Variation des constantes. On cherche une solution de la forme :
y part = c 1 (x) · y 1 + · · · + c n (x) · y n
o` u c i (x) sont des fonctions `
a d´ eterminer et y i sont des solutions lin´ eairement ind´ ependantes de l’´ equation homog` ene correspondante.
En admettant n fonctions «arbitraire» c i (x), on s’est accord´ e une
libert´ e de choix plus grande que n´ ecessaire pour r´ esoudre le probl` eme
pos´ e. C’est pourquoi on pourra imposer n − 1 conditions. Choisissons
les conditions suivantes : on peut d´ eriver la solution particuli` ere « comme si les c i (x) ´ etaient des constantes». Tenant compte de ces conditions, on remplace y par l’´ equation donn´ ee par l’expression pour y part .
Ainsi, on trouvera une n i` eme ´ equation.
c
1 · y 1 + · · · + c
n · y n = 0
c
1 · y
1 + · · · + c
n · y
n = 0
. . .
c
1 · y
(n−2)
1
+ · · · + c
n · y
(n−2)
n
= 0

       
       
Ces ´ equations ´ equivalent `
a
dire que y part peut ˆ
etre d´ eriv´ ee n − 1 fois « comme si les
c i ´ etaient des constantes».
c
1 · y
(n−1)
1
+ · · · + c
n · y
(n−1)
n
= f(x)
Cette ´
equation est obtenue en
rempla¸ cant y dans l’´ equation
donn´ ee par y part et en tenant
compte des n−1 ´ equations cidessus.
Le d´ eterminant de ce syst` eme lin´ eaire est le wronskien W (x) des fonctions y 1 , . . . , y n : W (x) = 0. Le syst` eme est donc r´ egulier et poss` ede
une et une seule solution :
c
1 , c
2 , . . . , c
n
Apr` es int´ egration, on trouve : c 1 (x), c 2 (x), . . . , c n (x).