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Equations diff´ erentielles lin´ eaires `
a coefficients constants
Pour certaines classes de seconds membres (fonctions ´
etant ellesmˆ emes solutions d’une ´
equation homog` ene `
a coefficients constants),
nous allons partiellement syst´ ematiser la recherche d’une solution « particuli` ere» :
(1) Le second membre n’est pas solution de l’´ equation homog` ene correspondante. Essayer :
y part = combinaison lin´ eaire du second membre et de ses
d´ eriv´ ees.
(2) Le second membre est solution de l’´ equation homog` ene correspondante. Essayer :
y part = x · (combinaison lin´ eaire du second membre et de ses
d´ eriv´ ees).
Si cette expression est encore solution de l’´ equation homog` ene,
essayer :
y part = x 2 · (combinaison lin´ eaire du second membre et de ses
d´ eriv´ ees).
Etc.
D´ ecomposition du second membre. Si le second membre est une
somme (ou une combinaison lin´ eaire) de fonctions, il est possible de
d´ ecomposer le probl` eme donn´ e en probl` emes partiels :
Proposition
(1) Soit ϕ(x) solution de y (n) + a 1 y (n−1) + · · · + a n y n = f(x);
alors c·ϕ est solution de y (n) +a 1 y (n−1) +· · ·+a n y n = c·f(x).
(2) Soient
ϕ(x) solution de y (n) + · · · + a n y n = f(x),
ψ(x) solution de y (n) + · · · + a n y n = g(x);
alors
ϕ + ψ est solution de y (n) + · · · + a n y n = f(x) + g(x).
Si le second membre est par exemple α · f(x) + β · g(x), on trouvera
donc des solutions pour les ´
equations correspondantes avec seconds
membres f(x) (resp. g(x)). Appelons ces solutions ϕ(x) (resp. ψ(x)).
Une solution du probl` eme donn´ e sera alors : αϕ + βψ.