L’´ equation y (n) + a 1 y (n−1) + · · · + a n y = f(x)
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11.6 L’´ equation y (n) + a 1 y (n−1) + · · · + a n y = f(x)
11.6.1
Solution g´ en´ erale
Appelons :
y
(n) + a 1 y
(n−1) + · · · + a n y = f(x)
l’´ equation (avec second membre) donn´ ee et
y
(n) + a 1 y
(n−1) + · · · + a n y = 0
l’´ equation homog` ene correspondante.
Proposition. La solution g´ en´ erale de l’´ equation
y
(n) + a 1 y
(n−1) + · · · + a n y = f(x)
s’´ ecrit :
y = y part + y hom (= y part + c 1 y 1 + c 2 y 2 + · · · + c n y n )
o` u
y part est une solution quelconque de l’´ equation donn´ ee (solution
particuli` ere);
y hom est la solution g´ en´ erale de l’´ equation homog` ene correspondante.
(y 1 , . . . , y n sont n solutions lin´ eairement ind´ ependantes de cette
´ equation homog` ene.)
11.6.2
Recherche d’une solution particuli` ere
Premi` ere m´ ethode
Deviner. Les calculs qu’on devrait faire en appliquant la m´ ethode de
la variation des constantes peuvent souvent ˆ
etre ´
evit´ es en « devinant»
une solution.