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Equations diff´ erentielles lin´ eaires `
a coefficients constants
11.5.3
Wronskien
D ´ efinition. Soient f 1 , f 2 , . . . , f n n fonctions (n − 1 fois d´ erivables); alors
W (x) =
f 1
f 2
. . .
f n
f
1
f
2
. . .
f
n
. . .
. . .
. . .
. . .
f
(n−1)
1
f
(n−1)
2
. . . f
(n−1)
n
est appel´ e wronskien des n fonctions.
Proposition. Soient y 1 , y 2 , . . . , y n n solutions de l’´ equation
y (n) + ay (n−1) + · · · + a n y = 0; alors
W (x)
≡ 0 si les y 1 sont lin´ eairement d´ ependantes
= 0 pour tout x, si les y i sont
lin´ eairement ind´ ependantes
Corollaire. Il suffit de connaˆ ıtre le wronskien pour une valeur x 0
quelconque de la variable pour savoir si les fonctions consid´ er´ ees sont
lin´ eairement d´ ependantes ou ind´ ependantes.
Plus pr´ ecis´ ement
W (x 0 ) = 0 implique que les y i sont lin´ eairement d´ ependantes;
W (x 0 ) = 0 implique que les y i sont lin´ eairement ind´ ependantes.