L’´ equation y (n) + a 1 y (n−1) + · · · + a n y = 0
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Types de racines
Solutions de base correspondantes
racine simple : r
y = e rx
racine double : r 1 = r 2 = r y 1 = e rx ; y 2 = x e rx
racine triple :
y 1 = e rx ; y 2 = x e rx ;; y 3 = x 2 e rx
r 1 = r 2 = r 3 = r
. . .
. . .
racines complexes
(conjugu´ ees) :
r 1 = α + iβ, r 2 = α − iβ
(ϕ 1 = e (α+iβ)x ; ϕ 2 = e (α−iβ)x )
d’o` u :
y 1 = e αx cos βx, y 2 = e αx sin βx
racines complexes doubles :
r 1 = r 2 = α + iβ,
r 3 = r 4 = α − iβ
ϕ 1 = e (α+iβ)x ; ϕ 2 = e (α−iβ)x
ϕ 3 = x e (α+iβ)x ; ϕ 4 = x e (α−iβ)x
d’o` u :
y 1 = e αx cos βx, y 2 = e αx sin βx
y 3 = x e αx cos βx,
y 4 = x e αx sin βx
Solution g´ en´ erale
Elle est donn´ ee par
y = c 1 y 1 + · · · + c n y n
o` u y i d´ esignent les solutions de base.
11.5.2
Probl` eme aux valeurs initiales
Proposition. Il existe une et une seule solution de l’´ equation
y (n) + a 1 y (n−1) + · · · + a n y = 0, satisfaisant aux conditions
initiales donn´ ees :
y(x 0 ) = α 1 , y
(x 0 ) = α 2 , . . . , y
(n−1) (x 0 ) = α n