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Equations diff´ erentielles lin´ eaires `
a coefficients constants
λ ´ etant donn´ e, pour quelle valeur Ω r´ es de Ω l’amplitude est-elle
maximale ? Quelle est cette amplitude A r´ es ?
On trouve
Ω r´ es =
ω 2
0 − 2λ 2 ,
A r´ es =
f 0
2λ
ω 2
0 − λ 2
=
f 0
2λω
Nous avons les cas :
(1) λ > ω
2
0 /2, il n’y a pas d’extremum relatif donc il n’y a pas de
r´ esonance;
(2) 0 < λ < ω
2
0 /2, il y a r´ esonance;
(3) λ = 0 (ici, pas d’amortissement). En cas de r´ esonance : A r´ es→∞
(« catastrophe»).
11.5 L’´ equation y (n) + a 1 y (n−1) + · · · + a n y = 0
11.5.1
Recherche de n solutions lin´ eairement
ind´ ependantes
Introduire dans l’´ equation y = e rx ; on obtient :
r
n e
rx + a 1 r
n−1 e
rx + · · · + a n e
rx = 0
d’o` u l’´ equation caract´ eristique :
r
n + a 1 r
n−1 + · · · + a n = 0
D´ esignons ses solutions par r 1 , r 2 , . . . , r n .