Seconds membres particuliers
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λ est le coefficient d’amortissement;
ω 0 est la pulsation de l’oscillation libre, non amortie;
ω =
ω 2
0 − λ 2 est la pulsation de l’oscillation amortie libre;
Ω est la pulsation d’excitation (en m´ ecanique : Ω est la pulsation
de la force perturbatrice F 0 cos(Ωt) o` u F 0 = f 0 m).
Solution de l’´ equation homog` ene
x hom = e
−λt (c 1 cos ωt + c 2 sin ωt) o` u ω =
ω 2
0 − λ 2 .
Solution de l’´ equation non homog` ene
x(t) = α cos Ωt + β sin Ωt
x part
+ e
−λt (c 1 cos ωt + c 2 sin ωt)
x hom
o` u
x part est le mouvement stationnaire ou r´ egime permanent ;
x hom est le mouvement transitoire tendant vers 0 pour t → ∞, c 1
et c 2 d´ ependent des conditions initiales;
α et β sont donn´ ees par :
α =
(ω 2
0 − Ω 2 )f 0
ω 2
0 − Ω 2
2 + 4λ 2 Ω 2
et β =
2λΩ · f 0
ω 2
0 − Ω 2
2 + 4λ 2 Ω 2
Discussion du mouvement stationnaire, r´ esonance
La solution particuli` ere s’´ ecrit encore
α cos Ωt + β sin Ωt = A · cos(Ωt − ϕ)
avec
A =
α 2 + β 2 =
f 0
ω 2
0 − Ω 2
2 + 4λ 2 Ω 2
et cos ϕ =
α
A