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Equations diff´ erentielles lin´ eaires `
a coefficients constants
d’o` u
c 1 (y
1 + ay
1 + by 1 )
0
+ c 2 (y
2 + ay
2 + by 2 )
0
+ c
1 y
1 + c
2 y
2 = f(x)
d’o` u la deuxi` eme ´ equation
c
1 y
1 + c
2 y
2 = f(x)
Enfin c
1 et c
2 peuvent ˆ
etre trouv´ es en r´ esolvant le syst` eme lin´ eaire :
c
1 y 1 + c
2 y 2 = 0
c
1 y
1 + c
2 y
2 = f(x)
d’o` u c
1 , c
2 . En int´ egrant, on trouve c 1 (x) et c 2 (x).
D´ ecomposition du second membre
La recherche d’une solution particuli` ere peut souvent ˆ
etre facilit´ ee par la d´ ecomposition du second membre en une somme (ou combinaison lin´ eaire) de termes plus simples. La m´ ethode repose sur la
proposition suivante :
Proposition. Soit ϕ(x) solution de y + ay + by = f(x).
Soit ψ(x) solution de y + ay + by = g(x). Alors :
αϕ(x) + βψ(x) est solution de y
+ ay
+ by = αf(x) + βg(x)
11.4 Seconds membres particuliers
11.4.1
Oscillations forc´ ees
Soit x + 2λx + ω 2
0 x = f 0 cos(Ωt) l’´ ecriture sous forme standard
de l’´ equation diff´ erentielle des «vibrations forc´ ees» ou « oscillations
forc´ ees» o` u :