L’´ equation y + ay + by = f(x)
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11.3.2
Recherche d’une solution particuli` ere
Premi` ere m´ ethode
Deviner (pour certains seconds membres seulement).
(1) Le second membre n’est pas solution de l’´ equation homog` ene correspondante. Essayer :
y part = combinaison lin´ eaire du second membre et de ses d´ eriv´ ees
(premi` eres et secondes).
(2) Le second membre est solution de l’´ equation homog` ene. Essayer :
y part = x · (combinaison lin´ eaire du second membre et de ses
d´ eriv´ ees).
Si cette expression est encore solution de l’´ equation homog` ene,
essayer :
y part = x 2 · (combinaison lin´ eaire du second membre et de ses
d´ eriv´ ees).
Etc.
Deuxi` eme m´ ethode
Variation des constantes. Principe : chercher une solution de la forme
y part = c 1 (x)y 1 + c 2 (x)y 2 , o` u y 1 et y 2 sont deux solutions lin´ eairement
ind´ ependantes de l’´ equation homog` ene correspondante.
Remarque. Il y a trop d’inconnues. En introduisant deux fonctions
inconnues c 1 (x) et c 2 (x), on a «trop de libert´ e» pour satisfaire `
a une
seule ´
equation. Il sera possible d’imposer une condition aux fonctions
c 1 (x) et c 2 (x). Calculons
y
p = c
1 y 1 + c
2 y 2 + c 1 y
1 + c 2 y
2
La condition impos´ ee est alors c
1 y 1 + c
2 y 2 = 0.
Verbalement : « on peut d´ eriver y part = c 1 (x) · y 1 + c 2 (x) · y 2 une fois,
comme si c 1 et c 2 ´ etaient des constantes. »
Rempla¸ cant dans y + ay + by = f(x), nous obtenons :
(c 1 y
1 + c 2 y
2 + c
1 y
1 + c
2 y
2 ) + a(c 1 y
1 + c 2 y
2 ) + b(c 1 y 1 + c 2 y 2 ) = f(x)