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Equations diff´ erentielles lin´ eaires `
a coefficients constants
(1) r 1 , r 2 sont diff´ erentes et r´ eelles :
y 1 = e
r 1 x ,
y 2 = e
r 2 x
sont deux solutions lin´ eairement ind´ ependantes.
(2) r 1 = r 2 (= r) :
y 1 = e
rx ,
y 2 = x · e
rx
sont deux solutions lin´ eairement ind´ ependantes.
(3) r 1 , r 2 sont complexes conjugu´ es, avec r 1 = α + iβ et r 2 = α − iβ :
ϕ 1 = e
(α+iβ)x ,
ϕ 2 = e
(α−iβ)x
sont deux solutions (complexes) lin´ eairement ind´ ependantes, et
y 1 =
ϕ 1 + ϕ 2
2
= e
αx cos βx
y 2 =
ϕ 1 − ϕ 2
2i
= e
αx sin βx
sont deux solutions r´ eelles lin´ eairement ind´ ependantes.
11.3 L’´ equation y + ay + by = f(x)
11.3.1
La solution g´ en´ erale
Proposition. La solution g´ en´ erale de l’´ equation y + ay +
by = f(x) s’´ ecrit :
y = y part + y hom = y part + c 1 y 1 + c 2 y 2
o` u :
y part est la solution quelconque de l’´ equation donn´ ee;
y hom est la solution g´ en´ erale de l’´ equation homog` ene correspondante.