L’´ equation y + ay + by = 0
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Deuxi` eme m´ ethode
Variation des constantes (toujours applicable). Poser
y part = c(x) · y 1 = c(x) e
−ax
En rempla¸ cant y dans l’´ equation donn´ ee y + ay = f(x) par cette
expression, on trouve une ´
equation pour c (x) :
c
(x) = e
ax
· f(x)
d’o` u c(x) par int´ egration.
11.2 L’´ equation y + ay + by = 0
11.2.1
Structure de l’ensemble des solutions
Th ´ eor ` eme. L’ensemble des solutions de l’´ equation y + ay +
by = 0 est un espace vectoriel de dimension 2, c’est-` a-dire :
il suffit de connaˆ ıtre deux solution lin´ eairement ind´ ependantes
(« solutions de base»), toutes leurs combinaisons lin´ eaires sont
alors aussi des solutions et toute solution est une combinaison
lin´ eaire de ces deux solutions de base.
11.2.2
Recherche de deux solutions lin´ eairement
ind´ ependantes
Soit y + ay + by = 0. Poser y = e rx . L’´ equation donn´ ee conduit
` a :
r
2 + ar + b
polynˆ ome
caract´ eristique
= 0
qui est appel´ ee ´ equation caract´ eristique. Soient r 1 , r 2 les solutions de
cette ´
equation. Plusieurs cas se pr´ esentent :