160
Equations diff´ erentielles lin´ eaires `
a coefficients constants
11.1.2
L’´ equation non homog` ene y + ay = f(x)
Proposition. La solution g´ en´ erale de l’´ equation non homog` ene (´ equation avec second membre)
y
+ ay = f(x)
s’´ ecrit
y = y part + y hom = y part + c e
−ax
o` u
y hom est la solution de « l’´ equation homog` ene correspondante» :
y + ay = 0;
y part est la solution quelconque de l’´ equation non homog` ene donn´ ee (dite : solution «particuli` ere»).
11.1.3
Recherche d’une solution particuli` ere
Premi` ere m´ ethode
Deviner. Il ne s’agit pas d’une « m´ ethode» proprement dite, mais
plutˆ ot de quelques conseils qui peuvent, dans certains cas, aider `
a
trouver une solution.
Si le second membre est une fonction suffisamment simple
(ex. polynˆ ome, fonction exponentielle, fonction trigonom´ etrique, hyperbolique), l’id´ ee g´ en´ erale est de chercher une solution« ressemblant»
au second membre.
(1) Le second membre f(x) n’est pas solution de l’´ equation homog` ene.
On peut souvent trouver une solution en posant :
y part = combinaison lin´ eaire du second membre et de certaines de
ses d´ eriv´ ees.
(2) Le second membre f(x) est solution de l’´ equation homog` ene correspondante. Essayer avec y part = c · x · f(x).