Existence et unicit´ e
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Formulation exacte
Th ´ eor ` eme
Hypoth` eses. Soit D un domaine ferm´ e rectangulaire :
D =
(x, y) | x 0 − a x x 0 + a ; y 0 − b y y 0 + b
Soit f(x, y) continue dans D et f y continue dans D.
Th` ese. Dans un certain intervalle x 0 −c x x 0 +c (au moins),
il existe une et une seule solution de l’´ equation y = f(x, y)
satisfaisant `
a la condition initiale y 0 = y(x 0 ).
Une valeur pour c peut ˆ
etre trouv´ ee : c = min(a, b/M ) o` u M =
max D
f(x, y)
.
10.5.2
Approximation successive
La m´ ethode de l’approximation successive permet de construire par
it´ eration une solution de l’´ equation diff´ erentielle y = f(x, y). (Cette
m´ ethode est aussi utilis´ ee pour d´ emontrer l’existence d’une solution.)
Admettons les mˆ emes hypoth` eses que ci-dessus :
Premier pas. Remplacer l’´ equation diff´ erentielle par une ´ equation int´ egrale.
Proposition. Toute solution de l’´ equation
y
= f(x, y)
avec y(x 0 ) = y 0
satisfait aussi `
a l’´ equation
y = y 0 +
x
x 0
f(t, y) dt
et vice versa.