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Exemples d’´ equations diff´ erentielles d’ordre 1
Deux cas se pr´ esentent :
(1) y” = 0 d’o` u la solution g´ en´ erale : y = ax + b.
Toutes ces droites ne repr´ esentent pas une solution; remplacer y
dans l’´ equation donn´ ee, implique b = f(a) d’o` u
y = ax + f(a)
c’est la solution g´ en´ erale (famille de droites).
(2) x + df/dy = 0 d’o` u la solution singuli` ere.
Si on ne peut pas r´ esoudre cette ´
equation directement, on trouve
une «repr´ esentation param´ etrique» de la solution en ajoutant `
a
cette ´
equation une deuxi` eme : l’´ equation de Clairaut donn´ ee, dans
laquelle x a ´ et´ e remplac´ ee par −df/dy :

  
  
x = −
df
dy
y = −
df
dy · y
+ f(y
)
C’est la repr´ esentation param´ etrique de la solution singuli` ere (param` etre : y ).
10.5 Existence et unicit´ e
10.5.1
Th´ eor` eme d’existence et d’unicit´ e
D ´ efinition. L’´ equation y = f(x, y) est appel´ ee ´ equation diff´ erentielle « explicite » d’ordre 1.
Th´ eor` eme d’existence et d’unicit´ e
Formulation intuitive
Pour les fonctions f(x, y) suffisamment r´ eguli` eres et pour des valeurs initiales (x 0 , y 0 ) donn´ ees, l’´ equation y = f(x, y) poss` ede localement une et une seule solution (satisfaisant `
a la condition initiale
y(x 0 ) = y 0 ).