Familles de courbes, enveloppes, ´
equation de Clairaut
155
Remarque. Les courbes de la famille satisfont `
a l’´ equation diff´ erentielle ainsi trouv´ ee. Mais l’´ equation diff´ erentielle peut encore avoir
d’autres solutions (singuli` eres), notamment d’´ eventuelles enveloppes
(§ 10.4.2).
10.4.2
Enveloppes d’une famille de courbes
Proposition. Une ´ eventuelle enveloppe de la famille
f(x, y, c) = 0 satisfait `
a l’´ equation qu’on obtient en ´ eliminant le
param` etre c des ´
equations :
f(x, y, c) = 0
f c = 0
Proposition. Une ´ eventuelle enveloppe satisfait ` a la mˆ eme
´ equation diff´ erentielle que la famille de courbes ; elle correspond
` a une solution singuli` ere de cette ´
equation diff´ erentielle.
Remarque. L’´ equation diff´ erentielle d’une famille de courbes peut
avoir d’autres solutions singuli` eres que celles qui repr´ esentent les enveloppes.
10.4.3
Equation de Clairaut
D ´ efinition. L’´ equation y = xy + f(y ) est dite ´ equation de
Clairaut .
M´ ethode de solution
On d´ erive l’´ equation donn´ ee : y
= y
+xy
+
df
dy ·y
d’o` u l’´ equation
auxiliaire :
y
x +
df
dy
= 0