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Exemples d’´ equations diff´ erentielles d’ordre 1
Deuxi` eme pas. Alors F (x, y) = cste est une repr´ esentation implicite
des solutions.
10.3.3
Facteur int´ egrant
Probl` eme. R´ esoudre a(x, y) dx + b(x, y) dy = 0 mˆ eme si a y = b x .
M´ ethode de solution
Premier pas. Rechercher un «facteur int´ egrant» M (x, y), tel que
M · a dx + M · b dy est une diff´ erentielle totale.
Deuxi` eme pas. Int´ egrer l’´ equation M ·a dx+M ·b dy = 0 (les solutions
de cette ´
equation sont les mˆ emes que celles de l’´ equation originale).
Remarque. On essayera de trouver un facteur int´ egrant « simple»,
par exemple M = M (x) ou M = M (y).
10.4 Familles de courbes, enveloppes,
´ equation de Clairaut
10.4.1
Famille de courbes
Equation diff´ erentielle d’une famille de courbes
On suppose qu’une famille de courbes est donn´ ee par son ´
equation
f(x, y, c) = 0. Chaque valeur du param` etre c d´ etermine une courbe.
Proposition. L’´ equation diff´ erentielle d’une famille de courbes f(x, y, c) = 0 est obtenue en ´ eliminant le param` etre c du
syst` eme d’´ equations :
f(x, y, c) = 0
f x (x, y, c) + f y (x, y, c) · y = 0
↓
d
dx
o` u la deuxi` eme ´ equation s’obtient par d´ erivation par rapport `
a
x de la premi` ere.