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Exemples d’´ equations diff´ erentielles d’ordre 1
M´ ethode de solution (exemple : y − 2xy + 2x 2 = 1)
Premier pas. Introduction d’une nouvelle variable : t = x 2 , soit x =
√
t; on a donc
dy
dx
=
dy
dt
·
dt
dx
=
dy
dt
· 2x =
dy
dt
· 2
√
t
En reportant dans l’´ equation donn´ ee :
dy
dt
· 2
√
t − 2
√
t y + 2t = 1, on
obtient l’´ equation auxiliaire :
dy
dt
− y =
1 − 2t
2
√
t
Deuxi` eme pas. R´ esolution de l’´ equation auxiliaire (solution de l’´ equation homog` ene et solution particuli` ere avec second membre) : y hom =
cste e t , y part =
√
t (devin´ e, contrˆ ol´ e) d’o` u la solution de l’´ equation
auxiliaire :
y(t) = cste e
t +
√
t
Troisi` eme pas. R´ eintroduction de l’ancienne variable :
y(x) = cste e
x 2
+ x
10.2.3
Equations homog` enes
D ´ efinition. L’´ equation du premier ordre y = f(y/x) est appel´ ee ´ equation homog` ene.
M´ ethode de solution
La subtitution z = y/x donne y = xz +z, d’o` u l’´ equation auxiliaire
(` a variables s´ eparables) :
xz
+ z = f(z)
En int´ egrant on a
dz
f(z) − z
=
dx
x
= ln(cste x)