Equations `
a variables s´ epar´ ees, changement de variables. . .
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10.2.2
Changement de variables
Changement de fonction inconnue (variable d´ ependante)
M´ ethode de solution (exemple : y =
√
x + y)
Premier pas. Introduction d’une nouvelle variable (plutˆ ot : nouvelle
fonction) z 2 (x) = x + y d’o` u 2zz = 1 + y , d’o` u y = 2zz − 1 et nous
trouvons l’´ equation auxiliaire :
2zz
− 1 = z
Deuxi` eme pas. R´ esolution de l’´ equation auxiliaire
2z dz
z + 1
= dx
z
z + 1
= 1 −
1
z + 1
En int´ egrant
dz −
dz
z + 1
=
x
2
+ cste
d’o` u la solution de l’´ equation auxiliaire (dans ce cas, sous forme implicite) :
z − ln |z + 1| =
x
2
+ cste
Troisi` eme pas. R´ eintroduction de la variable originale :
√
x + y − ln
√
x + y + 1
=
x
2
+ cste
c’est la solution de l’´ equation originale (dans ce cas, sous forme implicite).
Changement de la variable ind´ ependante
Attention aux notations ! Soit x l’ancienne variable, t la nouvelle
variable. En utilisant le symbole y , on risque des malentendus : s’agitil de la d´ eriv´ ee par rapport `
a x ou par rapport `
a t ? Pour ´ eviter ces
difficult´ es, on peut ´
ecrire
dy
dx
et
dy
dt