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Exemples d’´ equations diff´ erentielles d’ordre 1
Progressions g´ eom´ etriques et croissance exponentielle
Un processus discret qui satisfait `
a une loi de progression g´ eom´ etrique est souvent approch´ e par un processus continu correspondant `
a
une loi de croissance exponentielle.
Progression g´ eom´ etrique :
Croissance exponentielle :
a n = a 0 p n
a(t) = a 0 e kt
Termes pour n = 0, 1, 2, 3, . . . :
Valeurs pour t = 0, τ, 2τ, . . . :
a 0
·p
−→ a 0 p
·p
−→ a 0 p 2 ·p
−→ . . .
a 0
·e kτ
−→ a 0 e kτ ·e kτ
−→ a 0 e 2kτ ·e kτ
−→ . . .
Diff´ erence de 2 termes cons´ ecutifs : Equation diff´ erentielle de a(t) :
∆a = a 0 p
n+1
− a 0 p
n
= a 0 p
n (p − 1)
da = k · a · dt
L’accroissement ∆a est proportionnel `
a la valeur « d´ ej` a
atteinte».
L’accroissement da est proportionnel `
a a.
10.2 Equations `
a variables s´ epar´ ees,
changement de variables, ´
equations homog` enes
10.2.1
Equations `
a variables s´ epar´ ees
D ´ efinition. y
=
f(x)
g(y)
est dite ´ equation `
a variables s´ epar´ ees.
M´ ethode de solution
A partir de
dy
dx
=
f(x)
g(y)
on a successivement
g(y) dy = f(x) dx , d’o` u
g(y) dy =
f(x) dx
puis int´ egrer.