Chapitre 10
Exemples d’´ equations diff´ erentielles
d’ordre 1
10.1 Croissance exponentielle
Proposition. L’´ equation de la croissance (ou d´ ecroissance)
exponentielle :
y
+ αy = 0
a les solutions suivantes :
y = cste · e
−αx
cste « arbitraire»
La croissance exponentielle dans la pratique
Dans les applications, on trouve souvent la situation suivante : une
quantit´ e y varie avec le temps, soit y = y(t). Pendant des intervalles
de temps ∆t (∆t «petit»), l’accroissement ∆y de y est proportionnel
` a y et ` a ∆t. En formule :
∆y = k · y · ∆t
d’o` u l’´ equation diff´ erentielle :
dy
dt
= k · y dont la solution est
y = cste · e
kt