Diff´ erentielles totales
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9.3.3
Analogies entre champs vectoriels
et formes diff´ erentielles
Champ vectoriel :
Forme diff´ erentielle :
a =
a(x, y) , b(x, y)
a(x, y) dx + b(x, y) dy
Gradient :
Diff´ erentielle totale :
grad f = (f x , f y )
df = f x dx + f y dy
dans ce cas f est souvent appel´ e potentiel du champ vectoriel (f x , f y )
dans ce cas f est souvent appel´ e potentiel de la forme diff´ erentielle f x dx + f y dy
Int´ egrale le long d’une courbe orient´ ee
C
a · dx =
t 2
t 1
(ax
+ by
dt)
C
a dx + b dy =
t 2
t 1
(ax
+ by
dt)
Int´ egrales curvilignes et diff´ erentielles totales
Th ´ eor ` eme. Soit a(x, y) dx+b(x, y) dy une forme diff´ erentielle,
d´ efinie dans un domaine simplement connexe; soient a(x, y) et
b(x, y) continˆ ument d´ erivables; alors les conditions suivantes
sont ´ equivalentes :
(1) a dx + b dy est une diff´ erentielle totale, c’est-` a-dire :
il existe f telle que df = f x dx + f y dy = a dx + b dy.
(2) L’int´ egrale
AB a dx + b dy ne d´ epend pas de l’arc choisi
entre A et B (mais seulement des points A et B).
(2 ) L’int´ egrale curviligne le long d’une courbe ferm´ ee s’annule :
a dx + b dy = 0.
(3) a y = b x .