Gradient et potentiel
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Domaines non simplement connexes
Si le domaine n’est pas simplement connexe, on a toujours :
a est un gradient ⇐⇒
= 0 =⇒ a y = b x
Par contre, la condition (3) (a y = b x ) n’implique pas les conditions (1)
et (2).
9.2.2
Recherche du potentiel
Soit a =
a(x, y) , b(x, y)
avec a y = b x (dans un domaine simplement connexe). On demande de trouver le (un) potentiel φ de a.
Premi` ere m´ ethode
Comparer les deux expressions suivantes :
∂φ
∂x
= a(x, y) implique : φ(x, y) =
a(x, y) dx + ϕ(y);
∂φ
∂y
= b(x, y) implique : φ(x, y) =
b(x, y) dy + ψ(x).
Deuxi` eme m´ ethode
∂φ
∂x
= a(x, y) implique : φ(x, y) =
a(x, y) dx + ϕ(y).
Pour cette fonction φ, on a :
∂φ
∂y
= b(x, y) (´ equation pour ϕ )
Troisi` eme m´ ethode ou m´ ethode g´ en´ erale
Choisir un point A.
Calculer l’int´ egrale curviligne : φ(x, y) =
C
a · dr.
y
x
C
A
(x, , y)