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Champs vectoriels plans et potentiels
L’int´ egrale curviligne d´ epend (souvent) du chemin (exemple)
Si a est continˆ ument d´ erivable, la formule de Riemann implique :
C 1
a · dx =
C 2
a · dx +
D
(b x − a y ) dx dy
y
x
C 1
C 2
A
B
D
9.2 Gradient et potentiel
9.2.1
Int´ egrales curvilignes et gradients
Th ´ eor ` eme. Soit a = (a, b) un champ vectoriel, d´ efini dans un
domaine simplement connexe ; soient a(x, y) et b(x, y) continˆ ument diff´ erentiables; alors, les conditions suivantes sont ´ equivalentes :
(1) a est un gradient, c’est-` a-dire : il existe φ telle que a =
grad φ = (φ x , φ y ).
(2) L’int´ egrale
AB a · dr ne d´ epend pas de l’arc choisi entre A
et B (mais seulement des points A et B).
(2 ) L’int´ egrale curviligne le long d’une courbe ferm´ ee s’annule :
a · dr = 0.
(3) a y = b x .
On dit alors souvent : «a d´ erive d’un potentiel φ».
Si a est une force, on dit : «a est un champ conservatif».
Champs vectoriels plans et potentiels
L’int´ egrale curviligne d´ epend (souvent) du chemin (exemple)
Si a est continˆ ument d´ erivable, la formule de Riemann implique :
C 1
a · dx =
C 2
a · dx +
D
(b x − a y ) dx dy
y
x
C 1
C 2
A
B
D
9.2 Gradient et potentiel
9.2.1
Int´ egrales curvilignes et gradients
Th ´ eor ` eme. Soit a = (a, b) un champ vectoriel, d´ efini dans un
domaine simplement connexe ; soient a(x, y) et b(x, y) continˆ ument diff´ erentiables; alors, les conditions suivantes sont ´ equivalentes :
(1) a est un gradient, c’est-` a-dire : il existe φ telle que a =
grad φ = (φ x , φ y ).
(2) L’int´ egrale
AB a · dr ne d´ epend pas de l’arc choisi entre A
et B (mais seulement des points A et B).
(2 ) L’int´ egrale curviligne le long d’une courbe ferm´ ee s’annule :
a · dr = 0.
(3) a y = b x .
On dit alors souvent : «a d´ erive d’un potentiel φ».
Si a est une force, on dit : «a est un champ conservatif».