Int´ egrales curvilignes planes
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9.1.3
Existence de l’int´ egrale curviligne
Les probl` emes de l’existence de l’int´ egrale curviligne et ceux d’´ eventuelles g´ en´ eralisations de la d´ efinition sont semblables aux probl` emes
correspondants pour int´ egrales simples.
Pour ´ eviter des difficult´ es, nous adopterons, par la suite (sauf mention explicite du contraire), que
• les champs vectoriels ´ etudi´ es sont continus (a(x, y), b(x, y) sont
continues);
• les courbes param´ etr´ ees ont un vecteur tangent continu (x , y sont
continues).
Ainsi, l’existence de l’int´ egrale (dans le sens de Riemann) est assur´ ee.
9.1.4
Exemples d’int´ egrales curvilignes
Travail d’une force
F d´ esigne le champ de force agissant sur un point mat´ eriel qui
parcourt une courbe C. Alors
W =
C
F · dx =
t 2
t 1
(f 1 · x
+ f 2 · y
) dt =
s 2
s 1
F t ds
est le travail de F le long de C.
Tension ´ electrique
E d´ esigne le champ ´
electrique agissant sur une charge ponctuelle
parcourant C. Alors
V =
C(A,B)
E · dx =
t 2
t 1
(E 1 · x
+ E 2 · y
) dt =
s 2
s 1
E t ds
est la tension entre A et B le long de C (V d´ epend de l’arc choisi entre
A et B).