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Champs vectoriels plans et potentiels
D ´ efinition. Si la limite ci-dessous existe, et si elle est ind´ ependante de la suite de subdivisions de plus en plus fines choisies, alors
lim
n→∞
|∆x|→0
S n = lim
n→∞
|∆x|→0
a 1 ·
∆x
1
+ a 2 ·
∆x
2
+ · · · + a n ·
∆x
n
=
C
a · dx
est dite int´ egrale du champ vectoriel a le long de C.
9.1.2
Calcul des int´ egrales curvilignes en coordonn´ ees
cart´ esiennes
Param´ etrisation de C :
x = x(t)
y = y(t)
t 0 t t 1 ,
alors x = x(t) =
x(t), y(t)
.
Vecteur tangent de C : x = (x , y ).
Champ vectoriel a sur la courbe C :
a = a(t) =
a
x(t), y(t)
, b
x(t), y(t)
Proposition. On a
a · dx =
a · x
dt (dx = x dt); l’int´ egrale curviligne est ramen´ ee `
a une int´ egrale simple.
Autres notations
C
a · dx =
C
a dx + b dy avec dx = (dx, dy).
C
a · dx =
s 2
s 1
a t ds, o` u a t est la composante tangente de a et s est
l’abscisse curviligne de C.